что такое конечно элементная модель

Метод конечных элементов и его применение

Метод конечных элементов возник как один из приемов исследования различных конструкций. В настоящее время он повсеместно признан как общий способ решения широкого круга задач в различных областях техники.

Определение

Инженерный анализ методом конечных элементов заключается в аппроксимации сплошной среды с бесконечно большими числами степеней свободы совокупностью элементов (подобластей), имеющих конечные числа степеней свободы. Между этими элементами устанавливается взаимосвязь. Признание метода объясняется простотой его математической формы и физического толкования.

Применение в механике

Метод конечных элементов в механике разрушения и в задачах строительной механики выражается как соотношение МКЭ в форме перемещений. Вначале задаются в рамках каждого элемента так называемые функции формы. Они определяют перемещение во внутренней области элемента по перемещению в узлах. Последние – это точки, где сочетаются конечные элементы.

Неизвестными МКЭ являются возможные и независимые перемещения узлов конечно элементной модели (КЭМ). Таким образом, КЭМ конструкции представляет собой систему закрепленных узлов. Дополнительные связи соотносятся с направлением возможных перемещений узлов.

Суть метода

По своей сути элементная модель конструкции аналогична основной системе классического метода перемещений, которая применяется при расчете стержневых систем. Для достижения восприимчивой точности результатов расчетов по методу конечных элементов приходится уменьшать размеры элементов, увеличивая тем самым точность аппроксимации геометрических характеристик и функций перемещений в пределах конечного элемента.

КЭМ сложных конструкций достигают сотен и даже миллионов степеней свободы, а потому метод конечных элементов в технике является машинно-ориентированным, реализация которого возможна только посредством компьютеров.

Практическая реализация

Для применения МКЭ на практике необходимо разбираться не только в теории механики, но и обладать знаниями в области программирования. Применение метода конечных элементов зачастую строится на базе вариационных принципов механики, в основе которых заложены два фундаментальных скаляра: потенциальная и кинетическая энергия упругой конструкции. Определение этих скаляров, независимых от выбранной системы координат, позволяет записывать соотношение МКЭ в инвариантной форме.

Для обеспечения удобства программирования соотношения МКЭ записываются в компактной матричной, или тензорной форме. На сегодня моделирование методом конечных элементов достаточно полно математически обосновано, созданы высокоэффективные программные продукты, которые все время совершенствуются вместе со средствами программирования.

Учебно-вычислительные программы

Технический прогресс, особенно в области ЭВМ, существенно изменил взгляды на постановку и решение инженерных задач. Построение расчетной модели тесно связано с процессом вычислений, и разделить эти два этапа на пути получения практических результатов почти невозможно.

Метод конечных элементов широко применяется в инженерной практике, что также способствовало включению его в учебные программы вузов. МКЭ предоставляет способы построения математической модели исследуемого явления исходя из его физической сущности.

Первые учебники по МКЭ были написаны сложным языком, но вскоре методика преподавания была упрощена благодаря внедрению специализированных программ. Например, хорошо себя зарекомендовал программный комплекс «Ассистент». Он позволяет проверить знания студентов в интерактивном режиме и способствует развитию навыков работы с программными продуктами при решении практических задач.

Расчет линейных деформаций

Сегодня основы метода конечных элементов базируются на том, что величины и понятия, ему присущие, не вводятся заранее, а вытекают из существа задачи строительной механики. Круг проблем, которые можно решать с помощью МКЭ, практически неограничен. Рассмотрим для примера задачу по расчету линейной деформации упругих конструкций от действия статических нагрузок.

Английский физик Р. Гук провел исследования деформаций центрально-нагруженных стержней, выполненных из разных упругих материалов, под действием статической силы: ∆=Pl/EA.

Он также установил зависимость между величинами, определяющими этот процесс: σ=Eε, где деформация выражена соотношением ε=∆/l, напряжение обозначено как σ=P/A (здесь A – площадь сечения стержня).

Коэффициент пропорциональности E определяет упругие характеристики материала и имеет физическую суть – напряжение, соответствующее единичной деформации.

Влияние статической силы

Статически действующая сила растет во времени постепенно (G≥P≥0). Перемещения, которые она порождает, тоже растут постепенно, без ускорений.

Анализ методом конечных элементов позволяет определить воздействие статической силы на перемещение, учитывая, что эти показатели меняются. Возрастанию (приросту) силы на бесконечно маленькую величину dP соответствует возрастание (прирост) перемещения d∆. Работа силы (P+∆P) на перемещение d∆ имеет значение dA=(P+∆P)×d∆.

Окончательное значение работы силы определяется по формуле A=∫Pd∆.

Введем зависимость между разномерными величинами под знаком интеграла ∆=Pα, где α – коэффициент податливости, который выражает физическую сущность перемещения точки, к которой добавлена единичная сила, в направлении этой силы. Соотношение ∆=Pα устанавливает единицу измерения α (м/Н). Отсюда следует, что d∆=dPα.

Коэффициенту податливости соответствует другая важная характеристика конструкции – коэффициент жесткости k=l/α (н/м), который определяет силу, вызывающую единичное перемещение конструкции в направлении этой силы.

С учетом всех характеристик и коэффициентов итоговое уравнение принимает вид: A=∫PdPα = α×(P 2 /2)=(G∆)/2.

Получена формула Клапейрона, которая определяет действительную работу статически действующей силы на перемещение, ею же порожденное в упругом теле. По этой методике рассчитываются и другие численные методы.

Метод конечных элементов для стержневых систем

Стержень является пространственным телом, два размера которого, ширина и высота, гораздо меньше длины. Это дает возможность рассматривать его физическую модель в виде линии, проходящей через центры сечений. Если внешние силы, приложенные к стержню, расположены в одной плоскости с его моделью, то можно считать, что деформации его происходят в этой же плоскости.

С математической точки зрения геометрические характеристики перемещения и напряжения в пределах стержня являются функциями одного аргумента. Соотношения теории упругости базируются на гипотезе плоских сечений стержня. Связь между деформациями и напряжениями соответствует линейному закону Гука. В каждом сечении стержня проявляются три плоскости перемещения:

При этом продольная u и прогиб w независимы, а угол поворота выражается формулой φ=dw/dx, где dw – величина прогиба после воздействия на стержень внешней силы, dx – участок прогиба (определяемый значением w+dw).

Для бесконечно малой величины стержня dx действует соотношение dx=dφ×P.

Потенциальную энергию деформации стержня естественно вычислять в локальной системе координат, ось x которой совпадает с осью стержня, а ось y перпендикулярна оси стержня: U=½∫N×du+½∫M×dφ=½∫N×(du/dx)dx+½∫M×(d²w/dx²)dx.

Изопараметрический подход в МКЭ

Рассмотрим применение метода конечных элементов в изопараметрической системе конечных элементов плоско-напряженной конструкции. Процесс создания конечно элементной модели конструкций состоит из нескольких этапов, первым из которых является построение сетки конечных элементов (КЭ), выбор глобальной системы координат относительно целой конструкции и локальной системы, связанной с конечным элементом.

Ответственным этапом является определение функций формы, которые обеспечивают определение перемещений в пределах конечного элемента из-за перемещения его узлов. Есть разные способы построения функций формы, но они должны обеспечить выполнение нескольких условий по аппроксимации функций перемещений.

Проблемы и решения

Теория методов конечных элементов гласит, что соотношения МКЭ формируются в локальной системе координат. Поэтому перечисленные требования относительно функций формы выполняются автоматически, если оси локальной системы ориентированы по сторонам конечного элемента. Такие случаи имеют место для конечных элементов стержневых конструкций, прямоугольных стеновых панелей, прямоугольных плит.

Но на практике встречаются конструкции с контуром произвольного определения. В этом случае приходится выполнять преобразование для аппроксимации перемещений в глобальной системе координат, что приводит к разрывам перемещений на границах конечных элементов и, как следствие, – к потере точности приближенных расчетов.

Возникла идея отобразить плоский четырехугольный конечный элемент общего вида на квадрат с локальной системой координат, начало которой находится в центре этой фигуры, и осями, ориентированными по его сторонам. Для дальнейшего использования конечных элементов в форме квадрата необходимо установить взаимно однозначную связь между локальными координатами произвольного четырехугольного КЭ и локальной системой координат КЭ в форме квадрата. Ведь для квадратного конечного элемента функции формы строятся достаточно просто.

Метод конечных элементов для расчета пластин

Пластина – это вставка или цилиндрическое тело, высота которого значительно меньше размеров в плане. Размер по высоте называется толщиной пластины. Плоскость, которая делит высоту пластины пополам, называется срединной или базовой плоскостью. Линия пересечения боковой поверхности со срединной плоскостью называется контуром пластины.

Тонкой считается пластина, для которой отношение толщины к меньшему размеру в плане находится в пределах h≤L/5, где h – толщина пластины, L – ее ширина.

Пластина считается жесткой, если под действием поперечной нагрузки наибольший ее прогиб при деформации не превышает 1/5 толщины.

При расчете методом КЭ сначала вводят систему координат: X₁, X₂ и X₃. Начала осей X₁ и X₂ расположены в срединной плоскости. Ось X₃ ориентируют по нормали к срединной плоскости.

Расчеты обычно сводятся к вычислению перемещения (сдвига) пластины в некоей точке под воздействием нагрузок (сил). В произвольной точке пластины, которая рассматривается как трехмерное тело, проявляются три направления перемещения: U₁, U₂, U₃. Определяющим является перемещение по нормали к срединной плоскости, которое называется прогибом и обозначается буквой W.

Расчеты считаются выполненными, если от заданной нагрузки (а это обычно равномерно распределенная, направленная к поверхности) установлен способ вычисления перемещений U и сдвига W в произвольной точке пластины. Соотношения МКЭ строятся на основе положений технической теории упругости, предложенных физиком Кирхгофом.

Гипотезы Кирхгофа

Метод конечных элементов во многом основывается на гипотезах, сформулированных в 1845 немецким физиком Г. Киргофом. Гипотеза прямых нормалей утверждает, что любая прямая линия, нормальная к срединной плоскости недеформированной пластины, остается прямой и нормальной к срединной поверхности деформированной пластины, а длина прямой линии не меняется. Суть ее заключается в отсутствии сдвига между слоями пластины по толщине.

Если оси декартовых координат размещены так, что плоскости X₁, X₂ совпадают со срединной плоскостью, то из первой части гипотезы вытекают следующие равенства: y₁₃=0, y₂₃=0. Гипотеза о неизменности длины прямой линии предполагает, что линейная деформация в направлении оси X₃ равна нулю: ε₃₃=0.

Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластины, параллельными срединной поверхности, предполагает, что напряжениями σ₃₃ по сравнению с напряжениями σ₁₁ и σ₂₂ можно пренебречь, то есть σ₃₃=0.

Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости предполагает, что в срединной плоскости пластины отсутствуют деформации растяжения, сжатия и сдвига. То есть срединная плоскость является нейтральной. Так что в ней перемещения U₁=U₂=0.

Вывод

Метод конечных элементов, широко применяемый в строительстве и механике, позволяет рассчитывать смещения различных элементов, подвергающихся определенным нагрузкам. Система, сформулированная еще в 1936 году советскими учеными, начала широко применяться лишь спустя десятилетия, так как требовала большого объема расчетов. С внедрением ЭВМ эта задача упростилась.

Источник

Просто о нелинейном анализе методом конечных элементов. На примере кронштейна

Привет, Хабр! Цель написания этой статьи – как можно более понятно представить приемы конечно-элементного моделирования на примере такой непростой темы, как нелинейный анализ. Я более семи лет проработал в отделе динамической прочности АО «ВПК «НПО машиностроения», где занимался расчетно-экспериментальным сопровождением изделий ракетно-космической отрасли. Также около трех лет помогал строительным и нефтяным компаниям закрывать их самые сложные расчетные проблемы. Пришло время поделиться опытом.

Продакт-менеджер по направлению Femap АО «Нанософт» Филипп Титаренко

Введение, или Зачем и про что эта статья

Далеко не все инженеры умеют решать задачи нелинейного анализа. А многих, даже из числа тех, кто специализируется на расчетах в программах конечно-элементного анализа, словосочетание «нелинейный анализ» вводит в заблуждение или же вовсе пугает. Тем, кто мимоходом пробовал решать такие задачи, вспоминаются окна с большим количеством настроек и какие-то графики, которые куда-то движутся и при этом что-то «не сходится» (рис. 1). Однако не только научные задачи, но и современные инженерные нормы и стандарты зачастую требуют учитывать нелинейность в расчетных моделях. Причем эти требования существуют не только в космической, авиационной, машиностроительной отраслях. Так, например, свод правил СП 385.1325800.2018 «Защита зданий и сооружений от прогрессирующего обрушения» при проведении расчетов требует учитывать геометрическую и физическую (пластичность, ползучесть и др.) нелинейности.

Рисунок 1

Статистика на сегодняшний день такова, что около 90% расчетов приходится на линейный анализ. С точки зрения экономики, линейный анализ – это быстро, просто и дешево. Но если вам необходимо рассчитать отклик на воздействие ударов, учесть инерционные эффекты, проследить изменение температурных или других параметров во времени, учесть наличие поверхностей контакта, геометрические нелинейности или сложные механизмы поведения материалов, без нелинейного анализа и без умения правильно настроить решатель вам не обойтись. Основные виды нелинейности – физическая геометрическая и обусловленная наличием поверхностей контакта.

В Рунете (да и в глобальной сети) на тему нелинейного анализа методом конечных элементов есть два условных типа образовательных материалов: 1) не слишком длинные инструкции, куда и в какой последовательности нажать в вашей САПР, чтобы рассчитать ваши «балку, нагрев, кронштейн, течение…», либо 2) толстые институтские учебники/научные работы или многостраничные руководства пользователя, которые можно и нужно долго изучать… но в ближайшие дни и недели вряд ли получится что-то посчитать самостоятельно.

Данная статья – это попытка автора на конкретном примере в конкретной САПР проиллюстрировать алгоритм проведения нелинейного статического анализа «с нуля» и до анализа решения, при этом предложив некоторые объяснения теоретическим основам, связанным с настройками решателя.

Задачу мы будем решать в пре-постпроцессоре Femap с решателем NX Nastran, еще с середины 70-х годов прошлого века многократно доказавшим свои надежность, точность и скорость. Я пользуюсь Femap 2020.2, но в целом алгоритм решения такого рода задач идентичен не только в предыдущих версиях Femap, но и в других КЭ расчетных комплексах.

На чем будем тренироваться? Нелинейный статический анализ

Нет, тренироваться, в отличие от героя старой кинокомедии (рис. 2), будем не на кошках.

Рисунок 2

Нам предстоит рассчитать Г-образный кронштейн за пределом текучести стали. Реальным прототипом кронштейна может быть альпинистский шлямбур, кронштейн на МКС или элемент навесного вентилируемого фасада. Я выбрал его потому что, с одной стороны, не хотел брать готовую модель, а с другой – хорошо было бы не тратить много времени читателя на процесс создания геометрии. С точки зрения модели все будет максимально просто, больше внимания я уделю теории и настройкам решателя. При таком подходе у читателя будет возможность самостоятельно повторить весь процесс – от создания модели до ее численного анализа. И даже провести натурный эксперимент.

В процессе подготовки статьи я обнаружил у себя дома подобный, но перфорированный кронштейн (рис. 3), ранее выведенный мною плоскогубцами за пределы текучести – правда, при других граничных условиях закрепления. И в других целях – не научно-экспериментальных, а в бытовых…

Рисунок 3

Но при желании вы всегда сможете верифицировать свой численный эксперимент: такие кронштейны есть во всех строительных магазинах.

Немного теории: отличия линейного и нелинейного анализа

Для практики решения инженерных задач с точки зрения внутренних расчетных алгоритмов важно осознавать, что в нелинейном анализе нагрузки прикладываются постепенно и фактически решатель последовательно решает множество задач. При линейном статическом анализе всегда делается лишь один шаг: от начального состояния к конечному. При решении нелинейной задачи все заданные нагрузки будут приложены к телу не сразу.

Исходными данными для каждого последующего шага в нелинейном анализе является состояние модели на предыдущем шаге. Причем на каждом шаге внутренние и внешние силы (энергетические параметры) должны быть уравновешены с учетом некоторой погрешности (рис. 4). Величину допустимой погрешности определяет критерий сходимости (Convergence Tolerances). Обычно этот критерий задается в процентах от приложенной нагрузки, где под нагрузкой понимаются все приложенные к модели внешние силы или, в случае нагружения перемещением, – силы реакции. Обилие настроек объясняется сложностью расчетных алгоритмов, сопутствующих нелинейному анализу. Типовое значение критерия сходимости по силам находится в диапазоне от 0,1 до 1% приложенной нагрузки. В поиске сходимости на шаге решения программа может выполнить множество итераций. По этим причинам решение нелинейных задач занимает намного больше машинного времени, чем решение линейных статических задач. Важно осознавать, что многошагового подхода могут по разным причинам (типам нелинейностей) требовать задачи, результат решения которых не зависит от времени.

Рисунок 4

Самый простой пример, на котором можно понять это утверждение, – нагружение упруго-пластичной конструкции нагрузкой, при которой напряжение превысит предел текучести. Решатель заранее «не знает», при какой нагрузке напряжение в отдельных узлах модели превысит этот предел и, следовательно, принципиально изменятся параметры уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние тела. При этом на каждом шаге приращения силы нужно учитывать изменение зоны пластической деформации. Поэтому решение проходит множество шагов приращения нагрузки, а шаги в свою очередь при необходимости выполняются за определенное количество итераций. Вычисления матрицы жесткости могут повторно осуществляться на каждом шаге решения. Частота пересчета матрицы жесткости задается пользователем. Пластичность – это физическая нелинейность.

В связи с «многошаговостью» и «итерационностью» процесса решения рекомендую освоить вкладку Nonlinear History (Нелинейная хронология решения), на которую можно перейти, запустив решатель. В ней вы сможете по графику в режиме реального времени отслеживать количество выполненных итераций и уровень достигнутой нагрузки (Load Factor). По этому графику можно анализировать скорость сходимости решения. Если что-то пошло не так, то решатель прервет процесс решения и выдаст сообщение, что решение не сходится.

Линейный анализ может использоваться только для анализа моделей с линейными материалами при условии, что нелинейностей других видов нет. Линейные материалы могут быть изотропными, ортотропными или анизотропными. Если материал в модели имеет нелинейные характеристики «напряжение – деформации» под заданной нагрузкой, должен использоваться нелинейный анализ. В нелинейном анализе могут быть использованы различные типы моделей материалов.

При нелинейном статическом анализе динамические явления, подобные инерционным силам и силам демпфирования, не учитываются. Обработка нелинейного статического решения отличается от обработки линейного статического решения несколькими основными позициями, представленными в табл. 1.

Общей теории на этом достаточно, а о том, как настроить алгоритмы решения глобальной нелинейной системы алгебраических уравнений, порождаемой методом конечных элементов, я напишу ниже, когда мы дойдем до соответствующего места при разборе нашего практического примера с кронштейном. В Femap большая часть этих настроек находится в диалоговом окне Nastran Nonlinear Analysis, куда можно попасть из диалогового окна Analysis Set, установив 10..Nonlinear Static в поле Analysis Type и несколько раз нажав кнопку Next. Но всему свое время.

Приступим к практике: моделирование кронштейна и линейный анализ в Femap с NX Nastran

В командном меню открываем File → Preferences → вкладка Geometry/Model. В настройках Solid Geometry Scale Factor устанавливаем Meters, что соответствует системе СИ измерений физических величин.

Наш Г-образный кронштейн будет состоять из двух квадратных пластин со сторонами длиной 0,1 метра, расположенных в перпендикулярных плоскостях. В командном меню перейдем в Geometry → Surface → Corners и последовательно создадим две квадратные пластины.
1) Координаты вершин для первой пластины: 1) X = 0; Y = 0; Z = 0; 2) X = 0,1; Y = 0; Z = 0; 3) X = 0,1; Y = 0; Z = 0,1; 4) X = 0; Y = 0; Z = 0,1.
2) Для второй: 1) X = 0; Y = 0; Z = 0; 2) X = 0; Y = 0,1; Z = 0; 3) X = 0; Y = 0,1; Z = 0,1; 4) X = 0; Y = 0; Z = 0,1.

Последовательно забив эти точки в диалоговое окно Locate → Enter № Corner of Surface, получим нужную геометрию. Нажатием клавиш Ctrl+A мы можем отобразить нашу геометрию в центре видового экрана в удобном масштабе.

Далее создадим материал наших пластин (Сталь 3) и определим его свойства. Для этого в панели Model Info, расположенной в левой части экрана, раскроем вкладку Model, затем щелкнем правой кнопкой мыши на строке Materials и нажмем New. Откроется диалоговое окно Define Material – ISOTROPIC. В поле Title введем наименование St3. В поле General зададим модуль Юнга (Young’s Modulus), E = 2e11, коэффициент Пуассона (Poisson’s Ratio), nu = 0,3, плотность (Mass Density) = 7850. На вкладку Nonlinear пока переходить не будем. Нажимаем ОК, а затем Cancel.

Создадим тип конечного элемента и укажем его свойства. Для этого во вкладке Model щелкнем правой кнопкой мыши на строке Properties и нажмем New. Откроется диалоговое окно Define Property – Plate Element Type. В поле Title введем наименование Pl0005. Во вкладке Material выберем 1..St3. Затем нажмем кнопку Elem/Property Type и убедимся, что флажок стоит в нужном месте: Plane Elements – Plate. То есть выбран плоский конечный элемент – пластина. Зададим толщину пластины, для этого в поле Thicknesses установим TavgorT1 = 0,005. Нажимаем ОК, а затем Cancel.

Сохраним нашу модель, для чего нажмем File → Save As, выберем путь для сохранения файла и имя файла. Я назову его KronNonlin.

Зададим свойства сетки конечно-элементной модели. Для этого в командном меню нажмем Mesh → Mesh Control → Size On Surface. В диалоговом окне Entity Selection → Select Surface(s) to Set Mesh Size нажмем Select All, чтобы выбрать все поверхности. Нажав ОК, мы попадаем в диалоговое окно Automatic Mesh Sizing. В поле Element Size выставляем значение 0,005 и нажимаем ОК. Теперь характерный размер наших конечных элементов будет равен 5 мм. На линиях модели появились точки, дающие нам информацию о том, какого размера будут элементы после создания конечных элементов.

Теперь создадим конечно-элементную модель. В командном меню нажмем Mesh → Geometry → Surface. В диалоговом окне Entity Selection → Select Surfaces to Mesh нажимаем Select All и ОК. В поле Property установим созданный нами тип КЭ 1..Pl0005, а в поле Mesher – флажок Quad. Нажимаем OK. Конечно-элементная модель создана. Теперь закрепим кронштейн и нагрузим его внешними силами.

Крепить кронштейн мы будем за четыре узла (такое закрепление более всего соответствует креплению заклепками или точечной сварке) по шести степеням свободы, и по линии стыка двух пластин – по трем степеням свободы (оставив возможность вращения вокруг линии).

Рисунок 5

Задаем граничные условия закрепления. Для этого щелкаем правой кнопкой мыши на Constraints, нажимаем New и вводим название Constr. Далее нажимаем правой кнопкой на Constraints Definitions и выбираем закрепление по узлам (Nodes). Выбрав четыре узла, как показано на рис. 5, закрепляем их по шести степеням свободы; нажимаем ОК. В поле Title диалогового окна Create Nodal Constraints/DOF пишем 4nodes и нажимаем на кнопку Fixed, чтобы ограничить перемещение-вращение. Нажимаем ОК. Вновь щелкаем правой кнопкой на Constraint Definitions и выбираем закрепление по линии (Curves). В поле Title диалогового окна Create Constraints on Geometry указываем Line и нажимаем кнопку Pinned – No Translation, чтобы ограничить перемещение, оставив возможность вращения.

Зададим условия нагружения, для чего правой кнопкой мыши щелкнем на Loads – New. Новый Set назовем Vert. Нажимаем правой кнопкой на Load Definitions – Nodal и выбираем четыре узла, к которым будут приложены данные нагрузки. В диалоговом окне Create Loadson Nodal назовем нашу нагрузку Force600. Узловые силы направлены по оси Y в отрицательном направлении. Величина узловой нагрузки FY – минус 600 Ньютон. Таким образом, к каждому из четырех узлов будет приложена нагрузка по 600 Ньютон (то есть 240 кг на все четыре узла).

Далее переходим к настройкам анализа. В командном меню выбираем Model → Analyses. Нажимаем кнопку New, чтобы выбрать тип анализа и решатель. В поле Title вводим Linear. Выбираем Analysis Program – 36..Simcenter Nastran и Analysis Type 1..Static. Затем нажатием на кнопку Analyze запускаем расчет. Решение занимает у меня меньше одной секунды (!). Femap показывает нам окно наблюдений за результатами анализа: Simcenter Nastran Analysis Monitor. Строка Analysis complete 0 означает, что анализ успешно завершен.

В Model Info щелкаем правой кнопкой мыши на Results → All Results → Deform. Теперь мы видим деформированное состояние нашего кронштейна в гиперболизированном виде. На мой взгляд, деформированное состояние визуально чрезмерно преувеличено, поэтому нажмем F6: откроется диалоговое окно View options. Перейдем во вкладку PostProcessing, Deformed Style в поле Scale установим 4%. Теперь визуализация деформированного состояния модели преувеличена меньше. Максимальные перемещения можно посмотреть в левом нижнем углу модели – они составляют 0,0026 м.

Нажмем клавишу F5 и отобразим распределение напряжений по модели. В поле Contour Style установим флажок на Contour, затем нажмем кнопку Deformed and Contour Data. Во вкладке Contour выберем 7033 Plate Top Von Mises Stress, чтобы Femap отобразил напряжения в узлах. Наша модель стала разноцветной, цвета отображают уровень напряженности (рис. 6). В правой части экрана мы видим шкалу, отображающую, какому цвету какой уровень напряжений соответствует. Чтобы скрыть геометрическую исходную модель, нажмем на иконку View Surfaces Toggle. Максимальные напряжения достигают 332,4 МПа, что значительно выше предела текучести 210 МПа для стали Ст3.

Рисунок 6

Итак, напряжения в точках кронштейна значительно выше предела текучести. Линейный анализ не учитывает текучесть-пластичность материалов и связанный с этим явлением эффект перераспределения напряжений, поэтому данное распределение напряжений не соответствует реальности. Переходим к нелинейному анализу.

Практика: нелинейный статический анализ в Femap с NX Nastran

Чтобы перейти от линейной к нелинейной модели, нам нужно выполнить всего пару действий (разбиение, условия закрепления и нагрузки мы не меняем).

Изменим свойства материала, добавив пластические деформации; для этого во вкладке Materials щелкнем правой кнопкой мыши на нашем материале 1… St3 и нажмем Edit. Перейдем на вкладку Nonlinear и в поле Nonlinearity Type выберем Plastic. В поле Yield Criterion выберем 0..von Mises, в поле Initial Yield Stress вводим значение 210 000 000 (то есть 210 МПа). Жмем ОК.

NX Nastran поддерживает следующие критерии пластичности:

Рисунок 7

При необходимости учета эффекта ползучести нужно установить галочку в поле Creep.
В поле Basic устанавливаем количество шагов приращения нагрузки (Increments or Time Steps) и максимальное количество итераций на каждом шаге (Max Iterations / Steps). В случае нелинейного статического анализа Increments or Time Steps отражают уровень нагрузки. На графике Nonlinear History (Нелинейная хронология), иллюстрирующем в реальном времени количество выполненных итераций, уровень нагрузки отложен на вертикальной оси и называется Load Factor. Его величина лежит в диапазоне от 0 до 1. За заданное количество шагов нагрузка меняется от 0 до полной; при этом, если того требуют условия сходимости, в рамках одного шага выполняется несколько итераций. Эти два параметра очень важны, в каждой задаче нужно постараться выбрать «золотую середину» между слишком большим количеством «шагов» и «итераций» и слишком маленьким. Если их слишком мало, то решение не сойдется или будет оказано негативное влияние на точность. Если же их количество окажется чрезмерным, решение будет затрачивать очень много машинных мощностей, времени, и может быть оказано негативное влияние на сходимость. Чтобы исследовать влияние этих параметров, мы прорешаем нашу задачку с кронштейном несколько раз при различных сочетаниях количества «шагов» и «итераций», наблюдая при этом за графиком нелинейной хронологии.

Для нелинейной статической задачи в поле Stiffness Updates можно выбрать один из трех методов (AUTO, ITER, SEMI) обновления матрицы жесткости тела, а также количество итераций (Iteration Before Update), через которое матрица будет обновляться. Если метод выбран неверно, то автоматически будет использоваться 0..Default (по умолчанию). В методе AUTO матрица жесткости обновляется исходя из оценок сходимости разных численных методов (квазиньютоновского, с линейной итерацией, половинного деления) и с выбором того из них, что даст минимальное количество обновлений матрицы жесткости. Метод SEMI подобен методу AUTO, но обновление матрицы жесткости обязательно проводится и на первой итерации после изменения нагрузки, что бывает эффективно для сильно нелинейных процессов. Метод ITER (в нелинейном анализе во времени ему подобен метод TSTEP) проводит обновление матрицы жесткости после указанного в поле Iteration Before Update количества итераций. Метод ITER эффективен для сильно нелинейных процессов, при которых геометрия тела в процессе деформирования резко изменяется (например, при потере устойчивости).

В поле Output Control задаются настройки вывода результатов на промежуточных шагах нагружения (временных шагах, если речь идет об анализе во времени). При проведении статического нелинейного анализа во вкладке Intermediate можно выбрать один из следующих вариантов: 0..Default (по умолчанию), YES (выводить), NO (не выводить), All (выводить на всех шагах). При нелинейном анализе во времени можно задать, через какое количество шагов следует выводить результат.

В поле Convergence Tolerance задаются допуски на удовлетворение условий сходимости для нагрузок (Load), перемещений (Displacement) и внутренней работы (Work). Влияние допуска по сходимости (Convergence Tolerances) на точность и время решения задачи рассмотрим на примере модели, изученной разработчиками Femap с NX Nastran из компании Siemens.
Очень большая нелинейная модель (950 000 DOFs) была тщательно исследована, чтобы определить влияние различных допусков критерия сходимости на время выполнения и точность расчета. В этой модели не было теплопередачи, зазоров или контактов. Результаты исследования показали, что приемлемая точность решения (в сравнении с решением, полученным при очень высоком уровне допуска по сходимости) может быть достигнута как для уровня допуска по сходимости «высокий», так и для уровня «инженерный». Уровень допуска по сходимости «предварительная оценка» дает результат с теми же общими тенденциями, что и более высокие уровни допуска, но ответы недостаточно точны для рабочего проекта. При уменьшении уровня допуска по сходимости расчет происходит значительно быстрее. В табл. 2 можно количественно оценить представленные тенденции.

В поле Solution Strategy Overrides устанавливаются настройки процесса решения глобальной нелинейной системы алгебраических уравнений, порождаемой методом конечных элементов. Для осознанного изменения этих настроек нужно обладать знаниями и опытом – если их недостаточно, лучше оставить установки по умолчанию. Приведу некоторые разъяснения.
Arc-Length Method устанавливает величину временного шага (догрузки) с учетом информации о перемещении узлов тела – его следует использовать, если задача связана с резкой деформацией (потерей устойчивости).

Полный метод Ньютона-Рафсона (Full Newton-Raphson) очень быстро сходится, но нуждается в дополнительном времени на создание дополнительной матрицы для полной матрицы системы алгебраических уравнений на каждой итерации.

Модифицированный метод Ньютона-Рафсона (Modified Newton-Raphson) не нуждается в таком действии, но сходится значительно медленнее, поэтому для его ускорения могут применяться дополнительные процедуры: Line Search (линейного поиска), Quasi-Newton (квазиньютоновского ускорения) и/или Bisection (половинного деления).

Таким образом, мы разобрали основные настройки для нелинейного статического анализа (настройки нелинейного анализа во времени им во многом подобны). Для расчета нашего кронштейна в окне Nastran Nonlinear Analysis установим следующие параметры: в поле Increments or Time Steps – 50, Max Iterations / Step – 5, Stiffness Updates Method – 1..AUTO, Iterations Before Update – 5, Intermediate – 1..YES. Остальные настройки оставим без изменений. Нажимаем ОК и переходим в окно Analysis Set Manager. Чтобы запустить расчет, нажмем кнопку Analyze. Femap автоматически откроет окно Simcenter Nastran Analysis Monitor. Перейдем во вкладку Нелинейная хронология, переставив флажок с log на Nonlinear History (рис. 8).

Рисунок 8

Здесь отображается график, иллюстрирующий в реальном времени количество выполненных итераций и (в случае нашего нелинейного статического анализа) Load Factor, то есть фактор нагрузки от 0 до 1. В правом верхнем углу мы видим информацию о номере текущей итерации. Обращаю внимание, что это не номер шага приращения нагрузки, а именно номер текущей итерации. Каждый шаг приращения нагрузки может содержать в себе несколько итераций – это необходимо для выполнения алгоритмов, реализующих сходимость решения. Если приращение не сходится, это означает, что изменение в нагрузке слишком велико, чтобы перейти к следующему шагу; нагрузка снижается – выполняются дополнительные итерации внутри одного шага.

В окне Model Info откроем вкладку Results → All Results. Двойной щелчок мыши на строчке решений открывает результаты при различных уровнях нагрузки от 0 до 100%. Проанализируем совместно график нелинейной хронологии и напряженно-деформированное состояние кронштейна при различных уровнях нагрузки.

При уровне нагрузки от 0 до 0,62 (Load Factor) напряжения меньше предела текучести 210 МПа, после – начинается пластическая деформация стали кронштейна. Единице 1 соответствует полная приложенная нагрузка – 240 кг на четыре узла. Максимальные напряжения выделены красным цветом – они сконцентрированы возле линии пересечения поверхностей. При уровне нагрузки от 0,62 до 1 зона пластических деформаций растет – максимальные напряжения (в отличие от линейного анализа) не увеличиваются. При факторе нагрузки 0,82 скорость роста кривой уменьшается – это значит, что для удовлетворения условий сходимости на каждый шаг требуется большее количество итераций. Мы смогли достигнуть полной нагрузки 1 – максимальные перемещения составили 0,00283 м. В некоторых случаях (например, если бы мы значительно увеличили нагрузку) геометрия деформированного тела искажается настолько, что при данной стратегии (настройках решателя) сходимости достичь не удастся. Как видим, результаты нелинейного анализа качественно и количественно отличаются от результатов линейного анализа.

Проведем еще три расчета, выставив разные настройки по количеству шагов приращений и итераций (рис. 9). В первом случае были выставлены Increments or Time Steps – 50, Max Iterations / Step – 5.

Рисунок 9

Условия сходимости были соблюдены в 1-м, 2-м и 4-м расчетных случаях. В 3-м расчетном случае фатальная ошибка с пояснением, что решение не сходится, появилась при уровне нагрузки 0,8. Обратим внимание, что во 2-м и 4-м расчетах решение было выполнено успешно (полная нагрузка 1) при значительно меньшем количестве шагов и итераций. Наша модель достаточно проста, и все расчеты были проведены менее чем за 5 секунд. На больших моделях благодаря правильному выбору числа шагов приращения нагрузки и итераций может быть сэкономлено много машинного времени.

Заключение

За рамками этой статьи осталось множество вопросов: многоступенчатое нагружение (применение Case и Subcase), применение нелинейных контактов, нелинейный анализ во времени, действия в случаях, когда решение «разваливается». Но я надеюсь, что основная цель статьи достигнута – у тех читателей, кто не имеет обширного опыта в решении нелинейных задач, теперь есть минимальный набор теоретических знаний и практических образов, чтобы начать работу с нелинейным анализом методом конечных элементов.

Литература

Филипп Титаренко,
продакт-менеджер по направлению Femap
АО «Нанософт»
E-mail: titarenko@nanocad.ru

Уважаемые читатели, приглашаю вас на три интересные и полезные мероприятия, которые состоятся в ближайшее время:

Бесплатную пробную версию Femap с NX Nastran можно скачать здесь.

Источник